Уравнение окружности в заданиях с параметром

Найдите все значения параметра при каждом из которых

система уравнений имеет различных решения.

Рассмотрим первую строку системы:

Первая строка системы задает объединение части окружности

(что попала в зону и прямой

На рисунке – линии синего цвета.
А – семейство прямых, проходящих через точку
Найдем координаты точек и пересечения и

Тогда
Если проходит через то
Если проходит через то
Найдем отвечающее за касание и
В нашем случае расстояние от центра окружности до прямой равно

Подходящие нам положения семейства прямых помечены на рисунке красным цветом (включая сектор красного цвета).
Итак,
Ответ:

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет четыре различных корня.

Если то уравнение не имеет решений.
В противном случае ( ) исходное уравнение равносильно совокупности:

Итак, при
Выделяем полные квадраты в левых частях уравнений совокупности.
Имеем:

Первая окружность имеет центр радиус

Вторая окружность имеет центр радиус

Берем от окружностей лишь те части (дуги), что вошли в зону

Заметим, окружности пересекаются в точках Прямая проходит через эти точки.

Множество точек уравнения (две большие дуги окружностей с общими точками ) показаны на рисунке коричневым цветом.
Видим, что при различных наше объединение двух коричневых дуг будет пересекаться горизонтальной прямой в четырех точках только в двух зонах, помеченных на рисунке зеленым цветом.
Несложно понять, что поскольку радиус малой окружности а ордината центра то значение отвечающее за верхнюю границу верхней зоны (см. рис.) — это Значение отвечающее за нижнюю границу нижней зоны (см. рис.) — это Также видно, то внутренние границы зеленых зон отвечают значениям равным
Итак, при исходное уравнение имеет четыре решения.
Ответ: .

Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня

Уравнение равносильно следующей совокупности:

Далее,

Выделяем полные квадраты в уравнениях:

Работаем в системе координат

В зоне строим окружность с центром радиусом

В зоне строим окружность с центром радиусом

будет иметь длину гипотенуза треугольника с катетами

Заметим, прямая ось симметрии для множества точек, задающего исходное уравнение.

Точки пересечения окружностей —

Используя построения, понимаем, что исходное уравнение будет иметь два корня при

Ответ:

Найдите все значения параметра при которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Перейдем к равносильной системе:

В системе координат строим окружность с центром радиусом Берем ту ее часть, что попала в зону (горизонтальная открытая полоса ).

пучок симметричных относительно оси ординат прямых (при прямые совпадают).

Заметим, точка является решением системы при любом значении параметра Поэтому нам нужно проследить, при каком значении параметра пучек прямых будет еще (помимо точки начала координат) пересекать нашу дугу окружности лишь один раз.

Это произойдет в трех случаях:
1) тогда прямые превращаются в прямую см. рисунок.
2) Одна из прямых касается дуги в точке вторая прямая дважды пересекает дугу окружности (проходя через начало координат при этом).
Прямая, проходящая через начало координат и центр окружности, имеет угловой коэффициент
Эта прямая содержит радиус окружности, проведенный в точку касания
Поскольку произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно то нас интересует в данном случае.
3) Одна из прямых пересекает дугу лишь однажды, в точке а вторая — дважды ( одна из точек — начало координат). Та прямая, что будет пересекать нашу дугу лишь раз, должна находиться внутри зоны, помеченной желтым цветом (включая границы). Именно в ней лежит «вырезанная» часть дуги окружности.
При этом, как несложно заметить,
Итак,

Ответ:

Найдите все значения параметра при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Исходная система равносильна следующей совокупности:

1) В первую очередь нужно вывести окружность в зону, помеченную на рисунке серым цветом, иначе, попадая в зону дает бесконечно много решений, чего нам не нужно. Подходящие значения
2) Далее необходимо потребовать, чтобы прямая дважды пересекала окружность (которая целиком входит в рабочую зону ).
Касанию прямой и окружности отвечают
Действительно, уравнение имеет одно решение в случае откуда
Стало быть, второе требование выполняется при

Итак, подходящие нам значения
Ответ:

Найдите все значения параметра при которых система уравнений

имеет более двух решений.

Рассмотрим первую строку системы:

Видим, что первое уравнение системы задает объединение дуг окружностей с радиусом и центрами в точках
Прямая ось симметрии дуг . Окружности пересекаются в точках

Вторая строка исходной системы задает семейство параллельных прямых Каждая прямая семейства перпендикулярна прямой так как произведение угловых коэффициентов прямых равно
Таким образом, если прямая касается одной из окружностей, то автоматически она касается и второй.

Найдем отвечающее за касание и окружности

необходимо, чтобы для

Имеем:

тогда

Найдем отвечающее за прохождение прямой через точку А:

Найдем отвечающее за прохождение прямой через точку В:

Нас устраивают те значения что отвечают за расположение прямой в зонах, помеченных на рисунке зеленым цветом.
Итак,
Ответ:



Ответ: